1.4.-
Análisis matemático de señales. Análisis de Fourier.
El
análisis de Fourier surgió a partir del intento del matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier por hallar la solución a un problema
práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede
obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas.
Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó
severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como
Lagrange, Laplace, etc. Este análisis se divide en las series de Fourier y la
transformada de Fourier. En las Series de Fourier permiten descomponer una señal periódica compuesta en una serie, posiblemente
infinita, de ondas seno, cada una con una frecuencia y fase distintas. Las
series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de
Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales
mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias
enteras).Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de
ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de
aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de
imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los
sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales
de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema
para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de
espectros. Las series de Fourier tienen la forma:
Donde
an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x).
Hace algún
tiempo, Fourier, demostró que cualquier señal periódica se puede representar
como una composición de ondas seno (sin = sen). Veamos una onda periódica. Esta
es la gráfica de una señal que se repite cada segundo.
Claramente
se ve que esta señal no es senoidal y pareciera que no tiene ninguna relación
con las señales seno. Sin embargo Fourier demostró que una señal periódica
siempre se puede representar como una suma de senoidales (senos y cosenos, o
senos desfasados). En su honor, a esta representación se le llama ahora
Series de Fourier.
Fourier
no solo mostró que es posible representar una señal periódica mediante
senoidales sino que además mostró el método para hacerlo. Asumiendo que la
señal se repite cada T segundos, se puede describir como una suma de
senoidales. Fourier proporcionó la manera explícita de obtener los coeficientes
en una Serie de Fourier. Primero veamos cómo se puede construir una señal a
partir de una suma de senoidales.
Como
un ejemplo ilustrativo, empezaremos analizando una señal seno simple.
La expresión para esta señal es:
Sig(t)
= 1 * sen(2πt/T) y T = 1 segundo.
Ahora, le
vamos a sumar otra senoidal a la señal seno original. La senoidal que le sumamos será el triple de la frecuencia original y será un tercio de
la amplitud original.
Ahora
se ve algo diferente. Si agregamos una nueva señal seno de
5 veces la frecuencia original y de un quinto de la amplitud original, se
tenemos: Sig(t) = 1 * sen(2πt/T) + (1/3) * sen(6πt/T) + (1/5) * sen(10πt/T).
Solo se está
añadiendo los términos impares múltiplos de la frecuencia original Así se ve la
señal después de anexar la décima primera componente.
Es señal está
cerca de ser una onda cuadrada. Sigamos agregando términos y veamos lo que sucede.
Esta es la señal después de anexar 49 componentes.
En este punto
parece que el proceso nos da una señal que es cada vez más cercana a la señal de
onda cuadrada. Sin embargo, parece que aún le falta un poco para ser una onda
cuadrada perfecta. Agreguemos más términos para ver qué sucede. Aquí tenemos la señal con los términos impares hasta la componente 79. Ahora vemos claramente una señal cuadrada con amplitud poco menor a
0.8. La forma en la que hemos construido esta señal es mediante el uso de los
resultados de Fourier. Conocemos la fórmula para la serie que converge a una
onda cuadrada.
Para una
representación más exacta se requiere que el número de términos aumente y
tienda a infinito. Esta es la fórmula
A continuación se presenta el uso de un simulador interactivo para experimentación. Permite controlar el número de términos de la sumatoria de la
fórmula anterior. También se puede controlar la frecuencia de la primera
componente. Para ejecutar, ir a la siguiente dirección:
Gracias we, no encontré nada de info en ningún otro sitio, y con esa wea de la pandemia no abren las bibliotecas.
ResponderEliminarestas medio pendejo wey segun la analogi tu informacion esta desactualizada
ResponderEliminar